В данном разделе вы найдете много статей и новостей по теме «теория чисел».
Проект "Эмми Нетер: Жизнь и теория чисел"
Простые числа при делении на 3 имеют остаток 1 либо 2 за исключением самой 3. Из этого следует, что половина простых вплоть до N даёт остаток 1, а вторая половина — остаток 2. Благодаря де ла Валле-Пуссену, нам известно, что при делении на 3 в конечном итоге половина всех простых даст остаток 1, а вторая половина — остаток 2. Эта гипотеза в случае своей верности подразумевает, что при рассмотрении всех простых в диапазоне до очень большого числа N остатки от их деления равномерно распределяются по корзинам для любого делителя вплоть до примерно квадратного корня из N. За пределами этой точки вычислять члены формулы уже не получится. В середине XX века теоретики доказали множество теорем отсева, следуя правилу: «Если обобщённая гипотеза Римана верна, то…» Но для получения многих из этих результатов не требовалась вся суть гипотезы Римана — было достаточно знать, что простые числа успешно распределялись по корзинам почти для каждого делителя, а не для каждого. Теорема Бомбьери-Виноградова, которая получила широкое применение, внезапно подтвердила многие результаты, которые до этого опирались на недоказанную гипотезу Римана. Но математики давно подозревали, а численные свидетельства предполагали, что истинный уровень распределения простых намного выше. В конце 60-х Питер Эллиот и Хейни Халберстам предположили , что уровень распределения простых лишь немного меньше 1 — иными словами, если рассматривать простые в диапазоне до некоего огромного числа, то они должны равномерно распределяться по корзинам даже при делителях, очень близких к этому огромному числу. Хотя доказательство гипотезы Эллиота-Халберстама, со слов Тао, является «мечтой».
Математики начали называть эту загвоздку «барьером квадратного корня» для простых чисел. Этот барьер, как сказал Лихтман, «Является поворотной точкой в нашем понимании простых чисел». Возьмите, к примеру, задачу простых-близнецов: отсев простого, если число на две единицы влево от него делимо на 3, 5 или 7, равноценно вопросу о том, даст ли само это простое остаток 2 при делении на 3, 5 или 7. Иными словами, попадает ли простое в корзину «2» при любом из этих делителей. Так что вам не обязательно знать, распределяются ли простые равномерно по всем корзинам при этих делителях — достаточно понимать, содержит ли каждая корзина «2» предполагаемое число простых. В 80-е годы математики начали искать способ доказать теоремы распределения, которые фокусируются на одной конкретной корзине. Как и в случае с теоремой Бомбьери-Виноградова, идеи, которые развились в 80-е годы, нашли себе множество применений. Самое примечательное в том, что они позволили математикам значительно продвинуться 1 , 2 в понимании Великой теоремы Ферма. Это было доказано в 1994 году при помощи техник, не опиравшихся на теоремы распределения.
Однако после всплеска 80-х особого прогресса в понимании уровня распределения не наблюдалось несколько десятков лет. Знаменательное доказательство Итана Чжана, которое он сделал в 2013 году, ограничив величину промежутков между простыми числами, положило начало возрождения в этой сфере математики. Затем в 2013 году Чжан выяснил, как преодолеть барьер квадратного корня, двигаясь в направлении, отличном от направления Бомбьери, Фридландера и Иванеца. Это крохотное улучшение позволило Чжану доказать давнее предположение, что по мере продвижения вдоль числовой оси вы продолжаете встречать пары простых, которые находятся ближе друг к другу, чем к некой фиксированной границе. В последствии Мейнард и Тао каждый по-отдельности привели своё доказательство этой теоремы, используя улучшенный метод отсева вместо улучшенного уровня распределения. Полученные Чжаном результаты опираются на одну из версий гипотезы Римана, происходящую из мира алгебраической геометрии.
Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет. Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать. New machine methods for finding twin primes, perfect and friendly numbers, Goldbach decomposition, and testing the Carmichael hypothesis are proposed. Goryushkin A. On the use of computer technology in the study of the discipline «Numbers theory». The author declares that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication. Contribution and Responsibility.
Математики даже создали специальный сайт , где можно прочитать про принцип работы алгоритма, запустить «машину Рамануджана» и постараться доказать гипотезу, которую она выдаст. Своим изобретением исследователи надеются изменить подход к изучению теории чисел. Статья об открытии опубликована в журнале Nature. Москва, Большой Саввинский пер. II; Адрес редакции: 119435, г.
И, тем самым, приспособить алгоритм Хассе для исследований, связанных с первым значением термина «ветвящееся прошлое»! Принципиальным является и тот факт, что мы не знаем поведения cиракузских последовательностей при эвереттических значениях N, равных гуголам и гуголплексам. И это, на мой взгляд, вообще очень важная и плохо исследованная область математики — закономерности строения числовой оси при эвереттических значениях натуральных чисел. Нет также математической базы для осмысленного анализа траекторий движения по этим последовательностям — возможности точного расчета длины последовательности, положений и амплитуд ее максимумов. Может быть, сама эвереттика и окажется той основой, на которой будет решена cиракузская проблема после создания полноценных квантовых компьютеров. Работа над которыми ведется, кстати, в рамках эвереттической трактовки квантовой механики. Вообще говоря, я вижу огромный познавательный потенциал в этом будущем союзе математики и эвереттики. Но, все-таки, хотелось бы иметь не численно-модельное, а именно аналитическое решение, поскольку в первом случае всегда существует опасность «проглядеть» какие-то важные особенности, а использование алгоритма Хассе для «реальных путешествий во времени» требует максимальной надежности. Ни эвереттика, ни математика, как известно, по крайней мере пока «не допущены» до дележа Нобелевского пирога. Из-за наличия «альтернативных» событий только для очень больших «по нашим понятиям» отрезков числовой оси можно говорить о корреляции значений N и времени. Но если «нормировать» числовую ось, скажем, гуголом, корреляция станет гораздо ярче. Впрочем, на это счет возможны и другие мнения: «Не совсем понятно, обязательно ли надо отождествлять значение члена последовательности с моментом времени. Казалось бы, можно момент времени отождествлять с номером члена последовательности при движении от настоящего к прошлому , а само значение считать спецификатором состояния Мира» [12]. Вот одна из них: «Есть у меня еще одно интересное соображение. Посмотрите: конечные числа последовательности образуют стебелек, вырастающий из 1, 2,... То есть это как бы особенное структурирование числовой оси, построенное на первичном - четно-нечетном. А ветвление в обе стороны, о котором я говорил, можно понять как отражение от единицы и поход назад. Это строго симметричное отражение задает как бы модель для всех ветвлений, возможных на всем множестве чисел, а ее легко передвигать по оси с помощью задаваемого сдвига... Возникает нечто вроде траектории движения некоего модельного сознанания по мультиверсуму чисел: мы можем начать следить за этим движением с некоторой точки - с закономерным путем до 1, а потом от единицы в обратную сторону со все более и более повышающейся неопределенностью считая ее мерой - участок числовой оси, куда она попадает. Кажется несимметричной выделенность детерминизма на отрезке до единицы, но, поскольку этот отрезок всегда конечен, то на ВСЕМ поле чисел участок детерминизма всегда мал. Да, тут есть куда углубляться... Источники 1. Форум сайта Algolist. Редже Тулио. Хэйес Брайан.
Из истории теории чисел
Его идея заключалась в том, чтобы определять простые числа вплоть до заданной точки путём постепенного «отсеивания» тех, которые таковыми не являются. Начинается отсев с вычёркивания всех чисел, кратных 2 кроме самой 2 , затем кратных 3 кроме 3. Следующее число, 4, уже оказывается вычеркнуто, значит, очередным шагом идёт вычёркивание всех чисел, кратных 5 и так далее. Все оставшиеся в итоге числа считаются простыми, то есть такими, которые делятся только на 1 и на самих себя. Эратосфен работал со всем множеством простых чисел, но вы можете использовать вариации его метода для поиска таких, которые будут обладать особыми свойствами.
Обнаруженные записи были сделаны Рамануджаном в 1919 году практически на смертном одре, примерно через год после обнаружения знаменитого «числа такси» 1729. С его открытием связана забавная история. Как-то раз его друг и коллега Годфри Харди, навещая Рамануджана в больнице, заметил, что приехал на такси с удивительно скучным номером — 1729. Случайное открытие его свойств подтолкнуло Рамануджана к исследованию других таких чисел. Изучив записи, извлеченные из архива, авторы новой работы сделали вывод, что Рамануджану практически удалось найти контрпример к великой теореме Ферма , и для этого он вывел особый тип кривой, описываемой уравнением с двумя переменными в степенях не выше третьей.
Например, как часто деление простого числа на 3 даёт остаток 1? Или остаток 8 при делении на 15? Углубляясь всё дальше вдоль числовой оси, эти остатки выстраиваются в статистически предсказуемые паттерны. В 1896 году бельгийский математик Шарль Жан де ла Валле-Пуссен доказал, что остатки постепенно выравниваются — например, если помещать простые числа в одну из двух корзин в зависимости от остатка при делении на 3 — 1 или 2 — то в конечном итоге в обеих корзинах окажется примерно равное их количество. Но для того чтобы полностью раскрыть потенциал методов отсеивания, математикам недостаточно знать, что содержимое корзин постепенно выравнивается, им также нужно понимать, каким образом это происходит. Выяснить же это оказалось непросто. После двух основных прорывов — в 60-х и 80-х — новые исследования в основном затихли. Яркое исключение произошло в 2013 году, когда Итан Чжан опубликовал знаковое доказательство существования бесконечного множества пар простых чисел, которые расположены ближе друг к другу, чем к некой конечной границе. Но в основной работе, производившейся в 80-е годы, в течение более 30 лет ощутимого прогресса не наблюдалось. Сейчас же эта тема переживает период возрождения, чему способствовала серия из трёх работ, написанных оксфордским математиком Джеймсом Мейнардом в 2020 году за два года до того, как он получил Филдсовскую премию — высшую награду в сфере математики. Мейнард проанализировал число, называемое «уровнем распределения», которое отражает то, насколько быстро остатки от деления простых чисел достигают равного распределения по корзинам иногда при использовании конкретных методов отсева. Для многих типичных методов он показал, что уровень распределения равен не менее 0,6, побив предыдущий рекорд в 0,57, установленный в 80-е годы. Джулия Штадлман, Джаред Дюкер Лихтман и Александру Паскади слева направо — все подтвердили новые результаты исследований распределения простых чисел. В течение нескольких последних месяцев трое бывших студентов Мейнарда опубликовали свои работы 1 , 2 , 3 , расширяющие полученные Мейнардом и Чжаном результаты. Одна из них, написанная Джаредом Дюкером Лихтманом сейчас является постдоком в Стэнфордском университете , продвинула установленный Мейнардом уровень распределения до 0,617. Используя этот прирост, Лихтман в последствии вычислил более точные верхние пределы количества простых-близнецов вплоть до установленной конечной точки, а также число «представлений Гольдбаха». Повышение с 0,6 до 0,617 может казаться небольшим для людей, не знакомых с теорией чисел. Но в теории отсева Гранвилл сказал, что «иногда эти скромные победы могут иметь поразительные последствия». Для его понимания разберём отсев по Эратосфену. Он начинается с удаления всех чисел, кратных 2 — это около половины чисел до N. Но это завышенное представление, поскольку вы дважды считаете числа, являющиеся кратными 2 и 3 кратные 6. И даже на этом ещё не всё — мы случайно дважды учли повторы, которые делимы на 2, 3 и 5. По мере продолжения этого процесса в формуле появляется всё больше членов, включая дроби с увеличивающимися знаменателями. В теории аналогичный процесс должен работать и для более изощрённых множеств простых чисел вроде простых-близнецов. Чтобы это увидеть, подумайте о том, как мог бы работать отсев простых-близнецов.
Другие мутации не могут оказывать заметного влияния на внешний вид, черты или поведение организма его фенотип. Последние иногда называют нейтральными, и хотя они не имеют наблюдаемого эффекта, но являются индикаторами эволюции в действии. Мутации накапливаются с постоянной скоростью. Поскольку эта скорость известна, ученые могут сравнить процентную разницу в последовательности между двумя организмами и сделать вывод, когда жил их последний общий предок. Однако организмы должны быть способны переносить некоторые мутации, чтобы сохранить свой характерный фенотип, в то время как генетическая лотерея продолжает раздавать «билеты», которые могут быть или не быть удачными. Эта так называемая мутационная устойчивость порождает генетическое разнообразие.
Проект "Эмми Нетер: Жизнь и теория чисел"
Это продолжает тематику исследований, связанную с применением методов аналитической теории чисел к решеточным моделям квантовой теории поля. Маленькая проблема из теории чисел, для меня более значима, чем страсть, большое намерение, обобщить, а тем паче построить теорию всё объясняющую. Рады приветствовать тебя в месте, где царит теория чисел и обсуждаются разные интересные задачи. Мы (нас двое!) математик и программист, которых сложно назвать мастерами ТЧ.
ЧИ́СЕЛ ТЕО́РИЯ
Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. О решении уравнений в целых числах. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. Элементарный курс. Простые числа. Начала структурной теории сложения множеств. Великая теорема Ферма 3-е изд.
Введение в теорию L-функций Дирихле.
Более 2,000 лет назад греческий математик Эратосфен разработал метод поиска простых чисел, получивший название решето Эратосфена , который остаётся актуальным по сей день. Его идея заключалась в том, чтобы определять простые числа вплоть до заданной точки путём постепенного «отсеивания» тех, которые таковыми не являются. Начинается отсев с вычёркивания всех чисел, кратных 2 кроме самой 2 , затем кратных 3 кроме 3. Следующее число, 4, уже оказывается вычеркнуто, значит, очередным шагом идёт вычёркивание всех чисел, кратных 5 и так далее. Все оставшиеся в итоге числа считаются простыми, то есть такими, которые делятся только на 1 и на самих себя.
Происходящие на протяжении поколений изменения должны давать некие преимущества, которые позволят их носителям лучше приспосабливаться к среде обитания. Благодаря некоторым из этих изменений особь лучше остальных адаптируется к окружающим условиям. Она выживает то есть побеждает в борьбе за ресурсы... Теория струн Обсуждение возникновения и приложений теории струн, вызывающий огромный интерес, как у физиков, так и любознательных читателей, начнем с краткого экскурса в историю ее возникновения. Теория струн возникла, впрочем, как и теория поля, благодаря задачам, возникшим в недрах физики элементарных частиц. А, если быть точнее, в рамках квантовой хромодинамики, описывающей сильные взаимодействия. Оказалось, что это взаимодействие, в силу своей специфики, локализуется вдоль линии, соединяющей...
Радикалом rad натурального числа N называется число, которое представляет собой произведение всех различных простых отличных от единицы чисел, делящихся только на себя и на единицу делителей числа N. Гипотеза Эстерле-Массера важна для теории диофантовых уравнений, а ее справедливость позволит провести еще одно доказательство великой теоремы Ферма для больших степеней. И вот, в 2012 году японский математик Синъити Мотидзуки представил доказательство abc-гипотезы, которое занимает более 500 страниц текста. Понять и проверить его способно небольшое число математиков. У эксперта может уйти до 500 часов работы для понимания доказательства, тогда как у математика-аспиранта это займет около 10 лет. В настоящее время проверкой работы Мотидзуки занимаются десять математиков. Отдельные этапы доказательства математика ясны, но «всеобъемлющая стратегия остается совершенно неуловимой». Считается, что проверить корректность доказательства Мотидзуки удастся к 2017 году, Работа японского ученого содержит революционные идеи и использует оригинальные обозначения, ранее не встречавшиеся в математической литературе.
Решение задач по теории чисел
Эта теория основана на идее теории множеств и известна под названием количественной теории натуральных чисел, его основателем был немецкий математик Георг Кант (1845–1918). «Элементы теории чисел» — книга автора Старикова Ольга Александровна. Издано: (2019). Адрес библиотеки с ближайшим печатным изданием Велиховский О.В. Описание некоторых свойств и правил построения числовых последовательностей для формулировки и решения задач общей теории чисел.
Суммирование методом Рамануджана: 1 + 2 + 3 + … + ∞ = −1/12?
Предполагается, что поскольку прихожане не выбирались по какому-то признаку только высокие, или только в обуви определенного фасона, или еще какому признаку , то отобраны они случайно, и среднее арифметическое 16 индивидуальных «футов» близко к неизвестному нам значению «истинного» фута, к которому можно приблизиться как угодно точно, увеличивая число слагаемых в формуле вычисления среднего арифметического то есть число прихожан в рассматриваемом случае. Закон больших чисел и выборы Теорема Бернулли, являющаяся частным случаем закона больших чисел, гласит, что относительная частота появления события в независимых экспериментах сходится к вероятности события. Этим частным случаем широко пользуются при проведении социологических исследований. Чтобы выяснить мнение очень большой группы людей, вовсе не обязательно опрашивать всех членов группы — достаточно опросить несколько сотен или тысяч случайных людей, и по их ответам составить представление о мнении всей группы по рассматриваемому вопросу. Предположим, что в городе Н. Если накануне выборов случайно отобрать 100 человек, и по результатам их опроса выясняется, что за кандидата А отдадут голоса 26 человек, а за Б — 58, нет оснований предполагать, что результат выборов окажется иным — у Б явное преимущество. Более точным предсказание результата окажется при случайном отборе 1000 человек, и т.
Кедлайя был одним из экспертов, которые потратили немало сил на проверку доказательства Мотидзуки. Другой математик, Эдвард Френкель Edward Frenkel из Калифорнийского университета в Беркли, ответил так: «Я не буду судить об этой работе до тех пор, пока ее не опубликуют, ведь в тексте может появиться какая-то новая информация». Нерешенная задача Так называемая abc-гипотеза устанавливает фундаментальную связь между сложением и умножением целых чисел. Грубо говоря, abc-гипотеза утверждает примерно следующее: если имеется много простых множителей у двух чисел «a» и «b», то их будет не очень много у значения суммы этих чисел — числа «c». Доказательство abc-гипотезы, в случае его подтверждения, может оказать сильное влияние на всю теорию чисел. Тогда у нас появится новаторский подход, например, к доказательству легендарной теоремы Ферма, сформулированной Пьером де Ферма в 1637 году и доказанной только в 1994 году. Итак, вся эта история началась 30 августа 2012 года, когда известный специалист в области теории чисел Синъити Мотидзуки опубликовал статью в интернете, — правда, не на arXiv. Его статьи, написанные малопонятным и своеобразным стилем, казалось, полностью опираются на математические понятия, которые совершенно незнакомы сообществу математиков, — «как будто читаешь статью, присланную из будущего или из далекого космоса», писал Джордан Элленберг Jordan Ellenberg , специалист по теории чисел из университета Висконсин-Мэдисон, в своем блоге вскоре после появления статей японского ученого. Мотидзуки отклонил все поступившие из-за границы приглашения о том, чтобы прочитать лекции о своих исследованиях. Несмотря на то, что некоторые из его близких сотрудников заявляли о том, что доказательство Мотидзуки корректное, математики во всем мире пытались зачастую с долей скепсиса хоть как-то понять это доказательство, не говоря уж о том, чтобы проверить его. В последующие годы по этой теме проводились конференции, участники которых сообщили даже о частичном понимании доказательства. И все же, по их мнению, потребуется еще много лет, чтобы сделать окончательные выводы. Многие математики, в том числе Герд Фальтингс Gerd Faltings , который консультировал Мотидзуки по докторской диссертации, открыто раскритиковали японского ученого за то, что он не потрудился дать более ясное представление о своих идеях. Через некоторое время, 16 декабря 2017 года, японская газета «Асахи» заявила о том, что в скором времени мы все-таки убедимся в правильности доказательства Мотидзуки, и что это достижение можно приравнять к доказательству теоремы Ферма, найденному в 1994 году. Адрес: Россия, Златоуст, 40-лет Победы, 6.
Лишь только в пятом параграфе этой небольшой книжки мы, наконец-то, обратим на трансцендентные числа свое внимание. Пункт 24. Мера и категория на прямой. В этом пункте я приведу некоторые предварительные сведения из математического анализа необходимые для понимания дальнейшего изложения. Нам понадобятся два из них - множества меры нуль и множества первой категории по Бэру. Оба эти понятия опираются на понятие счетности множества. Между любым счетным множеством и множеством натуральных чисел N существует биективное отображение, то есть элементы любого счетного множества можно перенумеровать, или, другими словами, любое счетное множество можно выстроить в последовательность. Ни один интервал на прямой не является счетным множеством. Это, очевидно, вытекает из следующей теоремы. Теорема 1 Кантор. В результате этого процесса получаем последовательность вложенных отрезков I 1 Й I 2 Й … Й I n Й … пересечение которых, как известно с первого курса, непусто, то есть содержит некоторую точку. Ё Я не думаю, что читатели ранее не встречались с этим изящным доказательством хотя в моей практике встречались и очень темные студенты , просто идея этого доказательства далее будет использована при доказательстве теоремы Бэра и поэтому ее полезно напомнить заранее. Множество А плотно в интервале I , если оно имеет непустое пересечение с каждым подинтервалом из I. Множество А плотно, если оно плотно в R. Множество А нигде не плотно, если оно не плотно ни в каком интервале на действительной прямой, то есть каждый интервал на прямой содержит подинтервал, целиком лежащий в дополнении к А. Легко понять, что множество А нигде не плотно тогда и только тогда, когда его замыкание не имеет ни одной внутренней точки. Нигде не плотные множества на прямой интуитивно ощущаются маленькими в том смысле, что в них полным полно дыр и точки такого множества расположены на прямой довольно редко. Некоторые свойства нигде не плотных множеств сформулируем скопом в виде теоремы. Теорема 2. Таким образом, класс нигде не плотных множеств замкнут относительно операции взятия подмножеств, операции замыкания и конечных объединений. Счетное объединение нигде не плотных множеств, вообще говоря, не обязано быть нигде не плотным множеством. Пример тому - множество рациональных чисел, которое всюду плотно, но является счетным объединением отдельных точек, каждая из которых образует одноэлементное нигде не плотное множество в R. Множество, которое можно представить в виде конечного или счетного объединения нигде не плотных множеств, называется множеством первой категории по Бэру. Множество, которое нельзя представить в таком виде, называется множеством второй категории. Теорема 3. Три сформулированных в теореме свойства являются по существу эквивалентными. Докажем первое. Пусть — представление множества А первой категории в виде счетного объединения нигде не плотных множеств, I — произвольный интервал. Далее - процесс как в доказательстве теоремы Кантора. Это возможно сделать, так как в дополнении к нигде не плотному множеству A 1 внутри интервала I всегда найдется целый подинтервал, а он, в свою очередь, содержит внутри себя целый отрезок. Второе утверждение теоремы непосредственно следует из первого, третье утверждение также следует из первого, если только сделать над собой усилие и перейти к дополнениям последовательности плотных открытых множеств.
Интересуют простые числа, которые на 1 больше полного квадрата, например, 17 или 257? И для этого тоже есть свой отсев. Современные методы отсева послужили катализатором крупнейших открытий в теории чисел, начиная с Великой теоремы Ферма и заканчивая до сих пор недоказанной гипотезой о простых-близнецах, которая гласит, что существует бесконечное число пар таких близнецов. Методы отсева, описанные венгерским математиком Палом Эрдешом в 1965 году, «являются, пожалуй, самым мощным элементарным инструментом в теории чисел». Хотя эта мощь ограничивается степенью понимания математиками того, как простые числа распределяются вдоль числовой оси. Несложно выполнить отсев в пределах небольшого числа, например, 100. Но математики хотят понять, как процесс отсева действует для больших чисел. Причём они не могут вывести все числа, оставшиеся после отсева до некоего экстремального значения. Вместо этого они пытаются оценить, сколько чисел примерно окажется в этом списке. В случае отсева по Эратосфену эта оценка будет зависеть от того, как часто целые числа окажутся делимы на 2, 3, 5 и так далее. Эту информацию получить относительно легко. Если же говорить о более сложных схемах, как в случае с простыми-близнецами, то важная информация зачастую относится к остаткам от деления простых на разные числа. Например, как часто деление простого числа на 3 даёт остаток 1? Или остаток 8 при делении на 15? Углубляясь всё дальше вдоль числовой оси, эти остатки выстраиваются в статистически предсказуемые паттерны. В 1896 году бельгийский математик Шарль Жан де ла Валле-Пуссен доказал, что остатки постепенно выравниваются — например, если помещать простые числа в одну из двух корзин в зависимости от остатка при делении на 3 — 1 или 2 — то в конечном итоге в обеих корзинах окажется примерно равное их количество. Но для того чтобы полностью раскрыть потенциал методов отсеивания, математикам недостаточно знать, что содержимое корзин постепенно выравнивается, им также нужно понимать, каким образом это происходит. Выяснить же это оказалось непросто. После двух основных прорывов — в 60-х и 80-х — новые исследования в основном затихли. Яркое исключение произошло в 2013 году, когда Итан Чжан опубликовал знаковое доказательство существования бесконечного множества пар простых чисел, которые расположены ближе друг к другу, чем к некой конечной границе. Но в основной работе, производившейся в 80-е годы, в течение более 30 лет ощутимого прогресса не наблюдалось. Сейчас же эта тема переживает период возрождения, чему способствовала серия из трёх работ, написанных оксфордским математиком Джеймсом Мейнардом в 2020 году за два года до того, как он получил Филдсовскую премию — высшую награду в сфере математики. Мейнард проанализировал число, называемое «уровнем распределения», которое отражает то, насколько быстро остатки от деления простых чисел достигают равного распределения по корзинам иногда при использовании конкретных методов отсева. Для многих типичных методов он показал, что уровень распределения равен не менее 0,6, побив предыдущий рекорд в 0,57, установленный в 80-е годы. Джулия Штадлман, Джаред Дюкер Лихтман и Александру Паскади слева направо — все подтвердили новые результаты исследований распределения простых чисел.
Российские школьники с триумфом вступили на международной олимпиаде по математике в Японии
Простыми словами о числах Фибоначчи: что это за последовательность, для чего она нужна, как связана с золотым сечением, где ряд Фибоначчи встречается в природе и в жизни. Статья посвящена вопросам квантовой вычислительной теории чисел. Выявлены предпосылки, давшие толчок к её становлению, а также основные положения. Найдите последние новости теории чисел на сайте WIRED. Смотрите статьи по теме науки и техники, фотографии, слайд-шоу и видео. Ученые создали программу под названием «машина Рамануджана», которая способна выдвигать гипотезы из области теории чисел. На сегодняшний день алгоритм создал более 100 ин. Главная/Программа/Современные проблемы теории чисел.
Фундаментальное открытие в теории простых чисел
| Высшее образование БГПУ | Ученые создали программу под названием «машина Рамануджана», которая способна выдвигать гипотезы из области теории чисел. На сегодняшний день алгоритм создал более 100 ин. |
| Теория чисел | Когда теория чисел встречается с биологией. Теория чисел, традиционно ассоциирующаяся с чисто математическими областями, нашла неожиданное применение в эволюционной биологии. |
| Для теории чисел | Какие секреты прячет всем известный ряд чисел — 123456789? |
| Главы | Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана | Виноградов И.М. Основы теории чисел. |
| Теория Рамсея | Тропин, М. П. Теория чисел / М. П. Тропин. |
Базированная теория чисел, лекция (NlogN 2023/2024 Teens, 10.11.2023)
ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ, наука о целых числах, в которой изучаются вопросы представления натуральных чисел с помощью чисел специального вида, делимость чисел, распределение. Математики из Калифорнийского университета в Сан-Диего, Жак Верстрате и Сэм Маттеус, сделали прорыв в теории Рэмси, разгадав загадку чисел Рэмси, волновавшую ученых с 1930-х. Однако снова и снова теория чисел находит выражение в теории и практике, от чисел Фибоначчи в природе до методов шифрования. Целью семинара «Современные проблемы теории чисел» под руководством С. В. Конягина, М. А. Королева и И. Д. Шкредова является привлечение внимания участников к актуальным. Исследовательская группа распознала еще одну поразительную связь между теорией чисел и природой. Ученые часто восхищаются красотой математики. Различные проблемы геометрии могут быть решены с помощью теории чисел, что обеспечивает большую точность в решении задач.
ЧИ́СЕЛ ТЕО́РИЯ
Во-первых, он используется в теории струн. Увы, в её первоначальной версии (в теории бозонных струн), а не в версии Стивена Хокинга (Stephen Hawking). «Математические заметки», 1975 г. С конца прошлого века при решении задач теории. чисел широкие применения получили методы теории. функций комплексного переменного. Более 2000 лет назад греческий математик Эратосфен разработал метод поиска простых чисел, получивший название решето Эратосфена, который остаётся актуальным по сей день. Это продолжает тематику исследований, связанную с применением методов аналитической теории чисел к решеточным моделям квантовой теории поля. Во-первых, он используется в теории струн. Увы, в её первоначальной версии (в теории бозонных струн), а не в версии Стивена Хокинга (Stephen Hawking).
Константин Кноп: Азы теории чисел
Мотидзуки отмахнулся от критики в комментариях на своем сайте, указав, что два вышеупомянутых автора просто не поняли его работы. Однако несколько экспертов сообщили журналу «Нейчер» Nature следующее: большая часть математического сообщества считает, что критическое мнение по отношению к его работам закрепилось окончательно. Прочитайте также Аномальная Шапсугская зона в Краснодарском крае И официальное принятие статей к публикации вряд ли изменит это положение. Стикс в электронном письме отклонил просьбу о комментарии. Однако Акио Тамагава на пресс-конференции подтвердил, что, несмотря на критику Шольца и Стикса, решение о публикации в журнале статей Мотидзуки не изменилось. По словам Тамагавы, некоторые комментарии по этому поводу, разумеется, будут также опубликованы, но никаких фундаментальных изменений не произойдет. По словам Фолкера Мерманна Volker Mehrmann , президента Европейского математического общества EMS , которое публикует данный журнал от имени RIMS, если бы редакторы этого журнала «отмахнулись от критики» и опубликовали статью без серьезных изменений, то это негативно сказалось бы и на них, и на самом Мотидзуки.
Как сообщил Мерманн, EMS не осуществляет редакторский контроль над содержанием журнала RIMS; кроме того, сам Мерманн не знал о том, что публикация запланирована, до тех пор, пока не связался с «Нейчер». Правда, некий математик, предпочитающий оставаться анонимным, сообщил, что редакторы и рецензенты, работающие над статьями Мотидзуки, могли оказаться в почти патовой ситуации: «Если уж лучшие математики, несмотря на все старания, ничего не могут понять, то что говорить об каком-то одном редакторе! Кавли в Токио он в своем время входил в редколлегию изданий RIMS , покуда авторы отказываются от процесса рецензирования, «данный случай не будет рассматриваться как нарушение правил, он будет считаться нормой». Фолкер Мерманн тоже подтверждает, что подобные случаи не будут нарушать принципы EMS. По словам Касивара, Мотидзуки отказался от участия в процессе рецензирования и не участвовал ни в одном из заседаний редколлегии, обсуждавшей его статью. При этом Касивара заявил, что журнал и ранее публиковал статьи других членов редакции.
Статья Мотидзуки была принята 5-го февраля, но дата публикации еще не определена. Мы планируем сделать спецвыпуск, поэтому не можем сказать, сколько времени это займет», — сказал Касивара.
Правда, математики их, мягко говоря, недолюбливают, потому что общих методов их решения немного и задачи, которые выглядят простыми, на деле оказываются сверхсложными или почти неразрешимыми. А если использовать не все целые числа сразу, а только их конечное подмножество? Действуя аккуратно, из них можно сооружать небольшие полноценные арифметики.
Самые простые из них — модулярные арифметики. Они получаются когда мы от числовой прямой переходим к «числовой окружности», разбивая её на равные части, как на циферблате. Однако, кое в чём они могут быть и сильнее. Во-первых, таких арифметик много — столько же, сколько натуральных чисел, и каждая из них имеет свои особенности, делающие её непохожей на остальные. Во-вторых, конечные арифметики содержат конечное число элементов, а значит, задачи в них можно решать простым перебором.
Вот несколько примеров для разогрева. То есть, в этом смысле оно включает в себя и «отрицательные числа»: Более того, в этой системе у любого корректного линейного уравнения , есть решение, которое записывается формальной дробью. Это решение уравнения , отличное от 0 и 1. Смотрите сами: Золотое сечение имеет два иррациональных решения, которые связаны с числами Фибоначчи. Одно из них, положительное, называется золотым сечением и обозначается.
Во всех этих арифметиках можно напрямую использовать знаменитую формулу Бине, которая позволяет в конечной форме вычислить k-ое число Фибоначчи. Достаточно ли возможности складывать и умножать для того, чтобы носить это гордое имя? Как в них обстоят дела с делимостью, с решением уравнений, с простыми числами, с основной теоремой арифметики, наконец? Сразу скажу, тут всё непросто. Но ведь тем и интереснее!
К тому же, как известно, распределение простых чисел и в привычной нам арифметике целых чисел представляет многовековую загадку. Звёздочки и колечки У большинства из нас с вами на руках по пять пальцев. Благо, они у нас всегда есть перед глазами. Начнём мы свой анализ с того, что станем сосредоточенно возить пальцем по кругу. Каждая из этих «звёздочек» соответствует своему ряду в таблице умножения.
Таблица сложения в этой арифметике устроена очень просто: каждая строка получается циклическим сдвигом предыдущей. Это соответствует идее сложения, как сдвига числовой оси, но поскольку ось у нас зациклена, то роль сложения с числом на циферблате выполняет поворот всего циферблата на соответствующее числу количество делений. Это же показывают и «звёздочки»: умножение на 1 и умножение на 4 выглядят одинаково, но производятся в противоположную сторону. То же верно и для умножения на 2 и на 3. Противоположными положительным числам в целых числах являются отрицательные.
Но в нашей конечной арифметике отрицательных чисел нет, а их роль берут на себя обыкновенные числа. Поэтому мы не будем использовать термин «отрицательные числа» применительно к конечным арифметикам, поскольку каждое число одновременно является и положительным и отрицательным. Лучше говорить, что 2 и 3 противоположны друг другу. Из симметрии, которую образуют противоположные числа, следует симметрия таблицы умножения относительно диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний. А то что эта таблица симметрична относительно другой диагонали, идущей от левого верхнего угла до правого нижнего, значит, что для умножения выполняется перестановочный закон.
Алгебраисты говорят, что в таком случае »умножение коммутативно». Кроме того, для умножения выполняется и сочетательный закон:. Это свойство у алгебраистов называется ассоциативностью, оно позволяет не писать лишних скобок. В отличие от привычной нам арифметики, геометрически продемонстрировать эти два закона для конечной арифметики не так просто. Но поскольку она конечна, то можно просто перебрать все сочетания из трёх элементов и убедиться в их справедливости.
Сейчас поверьте мне, или проверьте сами, но все эти законы выполняются. Это интересно: многократным вычитанием любого числа из любого можно попасть в ноль, а это значит, что в нашем кольце любое число делится на любое число. Но об этом мы подробнее поговорим позже. Перед тем, как продолжать, надо поговорить про правильные имена и названия.
Главная О нас Конференции Журналы Экономика и управление: проблемы, решения Мягкие измерения и вычисления Учет и контроль Вестник Академии Ветеринария, Зоотехния и Биотехнология Проблемы ветеринарной санитарии, гигиены и экологии Художественное образование и наука Подписка Книги Ветеринария, зоотехния и биотехнология Экономика, финансы Цифровизация, искусственный интеллект, теория изменений Уникальные научные идеи, теории, проекты Управление История, философия Политические науки Юридические науки Образование Здравоохранение Искусство Православные книги, путеводители Проза, поэзия, мемуары, биографии Другие категории Сборники конференций Авторам.
Задача поставлена в 1962 году и до сих пор не решена [10]. Каждое ли перечислимое множество имеет однократное диофантово представление? Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно всех переменных параметров и неизвестных?
Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно неизвестных? Какое наименьшее число переменных может иметь универсальное диофантово уравнение?